傅里叶变换推导

傅里叶级数

设三角级数

$$ \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} \left( a_n \cos n x + b_n \sin n x \right) $$

假设它在区间 $[-\pi, \pi]$ 上收敛于 $f(x)$, 即

$$ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} \left( a_n \cos n x + b_n \sin n x \right) \tag{1.1} $$

将等式 $(1.1)$ 的两端在 $[-\pi, \pi]$ 上逐项积分, 得

$$ \begin{align} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx &= \int_{-\pi}^{\pi} \left( \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} \left( a_n \cos n x + b_n \sin n x \right) \right) dx \\ &= \frac{a_0}{2} \int_{-\pi}^{\pi} dx + \sum_{n = 1}^{\infty} \left( a_n \int_{-\pi}^{\pi} \cos n x dx + b_n \int_{-\pi}^{\pi} \sin n x dx \right) \\ &= \pi a_0 + \sum_{n = 1}^{\infty} \left( \frac{a_n}{n} \int_{-\pi}^{\pi} \cos n x dnx + \frac{b_n}{n} \int_{-\pi}^{\pi} \sin n x dnx \right) \\ &= \pi a_0 + \sum_{n = 1}^{\infty} \left( \frac{a_n}{n} \left[ \sin(n \pi) - \sin(- n \pi) \right] + \frac{b_n}{n} \left[ \cos(-n \pi) - \cos(n \pi) \right] \right) \\ &= \pi a_0 \end{align} \tag{.} $$

从而求得

$$ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx \tag{1.2} $$

以 $\cos m x$ 乘以等式 $(1.1)$ 的两端, 并在 $[-\pi, \pi]$ 上逐项积分

$$ \begin{align} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos m x dx &= \int_{-\pi}^{\pi} \left( \frac{a_0}{2} \cos m x + \sum_{n = 1}^{\infty} \left( a_n \cos n x + b_n \sin n x \right) \cos m x \right) d x \\ &= \frac{a_0}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \cos m x dx + \sum_{n = 1}^{\infty} \left( a_n \int_{-\pi}^{\pi} \cos n x \cos m x dx + b_{n} \int_{-\pi}^{\pi} \sin n x \cos m x dx \right) \\ &= \frac{a_0}{2} \left[ \sin(m \pi) - \sin(- m \pi) \right] + \sum_{n = 1}^{\infty} \left( a_n \int_{-\pi}^{\pi} \cos n x \cos m x dx + b_{n} \int_{-\pi}^{\pi} \sin n x \cos m x dx \right) \\ &= \sum_{n = 1}^{\infty} \left( a_n \int_{-\pi}^{\pi} \cos n x \cos m x dx + b_{n} \int_{-\pi}^{\pi} \sin n x \cos m x dx \right) \end{align} \tag{.} $$

其中, 当 $n \not= m$ 时,

$$ \begin{align} \int_{-\pi}^{\pi} \cos n x \cos m x dx &= \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \left[\cos(n + m) x + \cos(n - m)x\right] dx \\ &= \frac{1}{2(n + m)} \{\sin[(n + m) \pi] - \sin[- (n + m) \pi] \} + \frac{1}{2(n - m)} \{\sin[(n - m)\pi] - \sin[-(n-m)\pi]\} \\ &= \frac{1}{2(n + m)} \times 2 \sin[(n + m) \pi] + \frac{1}{2(n - m)} \times 2 \sin[(n - m) \pi] \\ &= 0 \end{align} \tag{.} $$

$$ \begin{align} \int_{-\pi}^{\pi} \sin n x \cos m x dx &= \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} [\sin(n + m)x + \sin(n - m)x] dx \\ &= -\frac{1}{2(n + m)}\{ \cos[(n + m) \pi] - \cos[ - (n + m) \pi]\} - \frac{1}{2(n - m)}\{\cos[(n - m)\pi] - \cos[-(n - m)\pi] \} \\ &= -\frac{1}{2(n + m)}\{ \cos[(n + m) \pi] - \cos[(n + m) \pi]\} - \frac{1}{2(n - m)}\{\cos[(n - m)\pi] - \cos[ (n - m)\pi] \} \\ &= 0 \end{align} \tag{.} $$

当 $n = m$ 时,

$$ \begin{align} \int_{-\pi}^{\pi} \cos n x \cos m x dx &= \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 mx dx \\ &= \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1 + \cos 2 m x}{2} dx \\ &= \frac{1}{2} \times 2 \pi + \frac{1}{4m} \int_{-\pi}^{\pi} \cos 2 m x d 2mx \\ &= \pi + \frac{1}{4m}[\sin(2m\pi) - \sin(-2m\pi)] \\ &= \pi \end{align} \tag{.} $$

$$ \begin{align} \int_{-\pi}^{\pi} \sin n x \cos m x dx &= \int_{-\pi}^{\pi} \sin m x \cos m x dx \\ &= \frac{1}{m}\int_{-\pi}^{\pi} \sin m x d(\sin m x) \\ &= \frac{1}{2m} [\sin^2 (m \pi) - \sin^2(- m \pi)] \\ &= 0 \end{align} \tag{.} $$

故,

$$ \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos m x dx = \pi a_m $$

即

$$ a_m = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos m x dx , ~ m = 1, 2, \cdots \tag{1.3} $$

同理, 以 $\sin mx$ 乘等式 $(1.1)$ 的两端, 并在 $[-\pi, \pi]$ 上逐项积分可确定系数 $b_m$ 为

$$ b_m = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin mx dx , ~ m = 1, 2, \cdots \tag{1.4} $$

注意到当 $m = 0$ 时, $a_m$ 的表达式正好就是 $a_0$, 于是:

$$ a_m = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos m x dx , ~ m = 0, 1, 2, \cdots \tag{1.5} $$

假设 $f(x)$ 是一个周期 $2 \pi$ 的可积与绝对可积的函数 ( 如果 $f(x)$ 是有界函数, 就假定它是可积的; 如果 $f(x)$ 是无界函数, 就假定它是绝对可积的 ), 由系数公式$(1.2)$$(1.3)$$(1.4)$$(1.5)$计算出它的傅里叶系数 $a_0$, $a_n$ 和 $b_n$ ($n = 1, 2, \cdots$), 依次作出的三角级数

$$ \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) $$

称为函数 $f(x)$​ 的傅里叶级数.

偶函数与奇函数的傅里叶级数

假设周期函数 $f(x)$ 的傅里叶级数为

$$ \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) $$

其中,

$$ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx dx, n = 0, 1, 2, \cdots $$

$$ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx dx, n = 1, 2, \cdots $$

如果周期函数 $f(x)$ 是偶函数, 即 $f(-x) = f(x)$, 这时 $f(x) \sin nx$ 是奇函数, $f(x) \cos nx$ 是偶函数, 便有

$$ \begin{aligned} a_n &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx dx \\ &= \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \cos nx dx & (n = 0, 1, 2, \cdots) \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} b_n &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx dx = 0 & (n = 1, 2, \cdots) \end{aligned} $$

因此 $f(x)$ 的傅里叶级数只含余弦项,

$$ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_n \cos nx $$

这样的级数称为余弦级数.

如果周期函数 $f(x)$ 是奇函数, 即 $f(-x) = -f(x)$, 这时 $f(x) \cos nx$ 亦是奇函数, 所以 $a_n = 0$. 因此 $f(x)$ 的傅里叶级数只含有正弦项,

$$ f(x) \sim \sum_{n = 1}^{\infty} b_n \sin nx $$

这样的级数称为正弦级数, 并且

$$ b_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \sin nx dx $$

任意周期和有限区间上的函数的傅里叶级数

• 假设周期为 $2 \pi$ 的函数 $g(x)$ 的傅里叶级数为

$$ \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) $$

其中,

$$ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} g(x) \cos nx dx, n = 0, 1, 2, \cdots $$

$$ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} g(x) \sin nx dx, n = 1, 2, \cdots $$

任意周期的情形

现讨论 $f(x)$ 的周期为 $2l$ 的情形, 作变换 $x = \frac{l}{\pi} t$, 并记

$$ f\left( \frac{l}{\pi} t \right) = g(t) $$

从而

$$ g \left( \frac{\pi}{l} x \right) = f(x) $$

则 $g(t)$ 为周期 $2 \pi$ 的函数, 回到原来的变量 $x$ 即有

$$ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} \left( a_n \cos \frac{n \pi}{l} x + b_n \sin \frac{n \pi}{l} x \right) $$

其中

$$ \begin{aligned} a_n &= \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \cos \frac{n \pi x}{l} dx & (n = 0, 1, 2, \cdots) \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} b_n &= \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \sin \frac{n \pi x}{l} dx & (n = 1, 2, \cdots) \end{aligned} $$

这就是周期为 $2l$ 的函数的傅里叶展开式.

同样, 如果 $f(x)$ 是偶函数, 则它的傅里叶级数就化成余弦级数

$$ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \cos \frac{n \pi x}{l} $$

其中

$$ \begin{aligned} a_n &= \frac{2}{l} \int_{0}^{l} f(x) \cos \frac{n \pi x}{l} dx & (n = 0, 1, 2, \cdots) \end{aligned} $$

如果 $f(x)$ 是奇函数, 则它的傅里叶级数就化成正弦级数

$$ f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty} b_n \sin \frac{n \pi x}{l} $$

$$ \begin{aligned} b_n &= \frac{2}{l} \int_{0}^{l} f(x) \sin \frac{n \pi x}{l} dx & (n = 1, 2, \cdots) \end{aligned} $$

有限区间上的函数的傅里叶级数

设 $h(x)$ 是定义在区间 $[-l, l]$ 上的函数, 这时可以把 $h(x)$ 以 $2l$ 为周期开拓出去, 即作一个定义在整个数轴上的周期 $2l$ 的周期函数

$$ H(x) = \begin{cases} h(x), & -l \leq x \leq l \\ h(x_l), & x = x_l + 2nl, & -l \leq x_l \leq l; & n为整数 \end{cases} $$

则有

$$ F(x + 2l) = F(x) $$

然后求出它的傅里叶级数

$$ H(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} \left( a_n \cos \frac{n \pi x}{l} + b_n \sin \frac{n \pi x}{l} \right) $$

如果这个级数的收敛条件得到满足, 那么局限于区间 $[-l, l]$ 上来考虑, 它就能表示原来给定的函数 $h(x)$, 但这时, 必须注意函数 $h(x)$ 在区间端点 $x = \pm l$ 的情况, 即使原来的函数 $f(x)$ 在 $[-l, l]$ 上连续, 并且是逐段光滑, 只有 $f(l) \not= f(-l)$ 开拓后函数在点 $x = \pm l, \pm 3l, \cdots$ 处就不连续, 而级数在 $x = \pm l$ 处只能收敛于

$$ \frac{f(l) + f(-l)}{2} $$

如果 $f(l) = f(-l)$, 这时 $F(x)$ 就在整个数轴上连续, 因而所得级数在 $[-l, l]$ 上收敛于 $f(x)$.

傅里叶变换

设函数 $f(x)$ 在任何有限区间 $[-l, l]$ 上可展开成傅里叶级数

$$ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_n \cos n \omega x + b_n \sin n \omega x) \tag{4.1} $$

其中

$$ \omega = \frac{\pi}{l} $$

$$ a_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(t) \cos n \omega t dt, ~~ (n = 0, 1, 2, \cdots) $$

$$ b_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(t) \sin n \omega t dt, ~~ (n = 1, 2, \cdots) $$

展开式与 $l$ 的选取有关, 为了能使 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 中得到一个统一的表达式, 就需要考察 $(4.1)$ 式当 $l \rightarrow +\infty$ 时的情形. 为此, 令

$$ \lambda_n = n \omega = \frac{n \pi}{l}, $$

$$ \Delta \lambda_n = \lambda_n - \lambda_{n - 1} = \frac{\pi}{l} = \omega, ~~ (n = 1, 2, \cdots) $$

再将 $a_n$, $b_n$ 表达式代入式 $(4.1)$ 中得

$$ \begin{align} f(x) &= \frac{1}{2l} \int_{-l}^{l} f(t) dt + \sum_{n = 1}^{\infty} \left[\frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(t) \cos n \omega t dt \cdot \cos n \omega x + \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(t) \sin n \omega t dt \cdot \sin n \omega x \right] \\ &= \frac{1}{2l} \int_{-l}^{l} f(t) dt + \frac{1}{\pi} \sum_{n = 1}^{\infty} \Delta \lambda_n \left[ \int_{-l}^{l} f(t) \cos \lambda_n t dt \cdot \cos \lambda_n x + \int_{-l}^{l} f(t) \sin \lambda_n t dt \cdot \sin \lambda_n x \right] \\ &= \frac{1}{2l} \int_{-l}^{l} f(t) dt + \frac{1}{\pi} \sum_{n = 1}^{\infty} \Delta \lambda_n\left[ \int_{-l}^{l} f(t) \cos\lambda_n x \cos \lambda_nt dt + \int_{-l}^{l} f(t) \sin\lambda_n x \sin \lambda_nt dt \right] \\ &= \frac{1}{2l} \int_{-l}^{l} f(t) dt + \frac{1}{\pi} \sum_{n = 1}^{\infty} \Delta \lambda_n \left[ \int_{-l}^{l} f(t) \frac{\cos(\lambda_nx + \lambda_n t) + \cos(\lambda_nx - \lambda_n t)}{2} dt + \int_{-l}^{l} f(t) \frac{\cos(\lambda_n x - \lambda_n t) - \cos(\lambda_n x + \lambda_n t)}{2} dt \right] \\ &= \frac{1}{2l} \int_{-l}^{l} f(t) dt + \frac{1}{\pi} \sum_{n = 1}^{\infty} \Delta \lambda_n \int_{-l}^{l} f(t) \cos \lambda_n (x - t) dt \end{align} \tag{.} $$

由傅里叶变换的假设

假设 $f(x)$ 是一个周期 $2 \pi$ 的可积与绝对可积的函数 ( 如果 $f(x)$ 是有界函数, 就假定它是可积的; 如果 $f(x)$ 是无界函数, 就假定它是绝对可积的), 由系数公式计算出它的傅里叶系数 $a_0$, $a_n$ 和 $b_n$ ($n = 1, 2, \cdots$), 依次作出的三角级数

$$ \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) $$

称为函数 $f(x)$ 的傅里叶级数.

如果 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 中绝对可积, 则当 $l \rightarrow +\infty$ 时,

$$ \frac{1}{2l} \int_{-l}^{l} f(t) dt \rightarrow 0 $$

$\Delta \lambda_n = \frac{\pi}{l} \rightarrow 0$, $\lim_{l \rightarrow \infty} \sum_{n = 1}^{\infty} \Delta \lambda_n \int_{-l}^{l} f(t) \cos \lambda_n (x - t) dt$ 可当作函数 $\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos \lambda (x - t) dt$ 在 $(0, +\infty)$ 上对 $\lambda$ 的积分, 即

$$ \lim_{l \rightarrow \infty} \sum_{n = 1}^{\infty} \Delta \lambda_n \int_{-l}^{l} f(t) \cos \lambda_n (x - t) dt = \int_{0}^{+\infty} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos \lambda (x - t) dt \right] d \lambda $$

从而有

$$ f(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{+\infty} d \lambda \left[ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos \lambda (x - t) dt \right] $$

它称为傅里叶积分公式, 称等式右边积分为傅里叶积分.

因为

$$ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos \lambda (x - t) dt = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos \lambda t \cos \lambda x dt+ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \sin \lambda t \sin \lambda x dt $$

所以傅里叶积分公式又可写成

$$ f(x) = \int_{0}^{\infty} \left[ a(\lambda) \cos \lambda x + b(\lambda) \sin \lambda x \right] d \lambda $$

其中

$$ a(\lambda) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos \lambda t dt, $$

$$ b(\lambda) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \sin \lambda t dt $$

由欧拉公式 $e^{i x} = \cos x + i \sin x$ 知

$$ \cos x = \frac{1}{2} (e^{i x} + e^{-ix}) $$

从而

$$ \begin{align} &\int_{0}^{\infty} d \lambda \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos \lambda (x - t) dt \\ =& \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{i \lambda (x - t)} dt + \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{- i \lambda (x - t)} dt \right] d \lambda \\ =& \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} d \lambda \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{i \lambda (x - t)} dt + \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} d \lambda \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{- i \lambda (x - t)} dt \\ =& \frac{1}{2} \int_{-\infty }^{\infty} d \lambda \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{i \lambda (x - t)} dt \end{align} \tag{.} $$

故

$$ \begin{align} f(x) &= \frac{1}{\pi} \int_{0}^{+\infty} d \lambda \left[ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos \lambda (x - t) dt \right] \\ =& \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty }^{\infty} d \lambda \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{i \lambda (x - t)} dt \\ \end{align} \tag{.} $$

这就是傅里叶积分的复数形式.

用 $-\lambda$ 代替 $\lambda$, 这个积分改写成

$$ \begin{align} f(x) =& \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty }^{\infty} d \lambda \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{i \lambda (t - x)} dt \\ =& \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \lambda x} d \lambda \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{i \lambda t} dt \\ \end{align} \tag{.} $$

令

$$ F(\lambda) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{i \lambda t} dt $$

则

$$ f(x) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\lambda) e^{-i \lambda x} d \lambda $$

通常把 $F(\lambda)$ 称为 $f(x)$ 的傅里叶变换或象函数; 而 $f(x)$ 称为 $F(\lambda)$​​ 的逆变换或象原函数.

傅里叶级数的复数形式

设 $f(x)$ 是定义在区间 $[-l, l]$ 上的函数, 且这个区间可以展开成傅里叶级数

$$ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} \left( a_n \cos n \omega x + b_n \sin n \omega x \right) \tag{5.1} $$

其中 $\omega = \frac{\pi}{l}$ 及

$$ a_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \cos n \omega x dx, (n = 0, 1, 2, \cdots) \tag{5.2} $$

$$ b_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \sin n \omega x dx, (n = 1, 2, \cdots) \tag{5.3} $$

应用欧拉公式

$$ e^{i n \omega x} = \cos n \omega x + i \sin n \omega x $$

可得

$$ \cos n \omega x = \frac{e^{i n \omega x} + e^{-i n \omega x}}{2} \tag{5.4} $$

$$ \sin n \omega x = \frac{e^{i n \omega x} - e^{-i n \omega x}}{2 i} \tag{5.5} $$

分别将式 $(5.4)$、$(5.5)$ 带入 $(5.1 - 5.3)$ 得

$$ \begin{align} f(x) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} \left( a_n \frac{e^{i n \omega x} + e^{-i n \omega x}}{2} + b_n \frac{e^{i n \omega x} - e^{-i n \omega x}}{2 i} \right) \\ &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_n - i b_n}{2} e^{i n \omega x} + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_n + i b_n}{2} e^{- i n \omega x} \end{align} \tag{5.6} $$

或者写成

$$ f(x) = \sum_{- \infty}^{\infty} F_n e^{i n \omega x} \tag{5.7} $$

其中

$$ F_0 = \frac{a_0}{2} = \frac{1}{2l} \int_{-l}^{l} f(x) dx \tag{5.8} $$

$$ \begin{align} F_{\pm n} &= \frac{1}{2} (a_n \mp i b_n) \\&= \frac{1}{2l} \int_{-l}^{l} f(x) (\cos n \omega x \mp i \sin n \omega x) dx \\ &= \frac{1}{2l} \int_{-l}^{l} f(x) e^{\mp i n \omega x} dx & n = 1, 2, 3, \cdots \end{align} \tag{5.9} $$

这就是 $f(x)$ 的傅里叶级数的复数形式. 它的系数 $F_n$ 与 $F_{-n}$ 是互为共轭的复数, 即 $F_{-n} = \overline{F_{n}}$.

另一种推导过程,

设

$$ f(x) = \sum_{-\infty}^{\infty} F_n e^{i n \omega x} \tag{5.10} $$

以 $e^{i m \omega x}$ 乘以等式 $(5.1)$ 的两端, 再从 $-l$ 到 $l$ 逐项积分, 就得到

$$ \int_{-l}^{l} f(x) e^{i m \omega x} dx = \sum_{n = -\infty}^{\infty} F_n \int_{-l}^{l} e^{i (n + m) \omega x} dx \tag{5.11} $$

其中, 当 $n + m \not= 0$ 时

$$ \begin{align} \int_{-l}^{l} e^{i (n + m) \omega x} dx &= \int_{-l}^{l} [\cos (n + m) \omega x + i \sin (n + m) \omega x]dx \\ &= \frac{1}{(n + m) \omega} \{ \int_{-l}^{l} [\cos(n + m)\omega x + i \sin(n + m) \omega x] d[(n + m)x] \} \\ &= \frac{1}{(n + m) \omega} \{\sin(n + m) \omega l - \sin [- (n + m) \omega l] + i \cos[-(n + m) \omega l] - i \cos[(n + m)\omega l] \} \\ &= \frac{1}{(n + m) \omega} \{\sin(n + m) \pi - \sin [- (n + m) \pi] + i \cos[-(n + m) \pi] - i \cos[(n + m)\pi] \} \\ &= \frac{1}{(n + m) \omega} \{\sin(n + m) \pi + \sin [(n + m) \pi] + i \cos[(n + m) \pi] - i \cos[(n + m)\pi] \} \\ &= 0 \end{align} \tag{.} $$

当 $n + m = 0$ 时

$$ \begin{align} \int_{-l}^{l} e^{i (n + m) \omega x} dx &= 2l \end{align} $$

即

$$ \int_{-l}^{l} e^{i (n + m) \omega x} dx = \begin{cases} 0, & n + m \not= 0, \\ 2l, & n + m = 0. \end{cases} \tag{5.12} $$

故式 $(5.11)$

$$ F_{\pm n} = \frac{1}{2l} \int_{-l}^{l} f(x) e^{\mp i n \omega x} dx. \tag{5.13} $$

注:

积化和差公式

$$ \sin \alpha \cos \beta = \frac{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)}{2} $$

$$ \cos \alpha \sin \beta = \frac{\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)}{2} $$

$$ \cos \alpha \cos \beta = \frac{\cos (\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)}{2} $$

$$ \sin \alpha \sin \beta = - \frac{\cos (\alpha + \beta) - \cos (\alpha - \beta)}{2} $$

和差化积公式

$$ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} $$

$$ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \sin{\alpha - \beta}{2} $$

$$ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} $$

$$ \cos \alpha - \cos \beta = - 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} $$

参考

[1] 高等数学导论 第二版, 中国科学技术大学高等数学教研室