建立相机坐标系 $O_{xyz}$ ，以其中 $z$ 轴指向相机前方，$x$ 轴向右，$y$ 轴向下，坐标原点 $O$ 为相机光心，也是针孔相机模型的针孔。

物理成像平面 $O'_{x'y'}$ 位于坐标系 $O_{xyz}$ 下 $z = -f$ 所在的平面，其中 $f$ 为相机的焦距。

空间中点 $P(x_p, y_p, z_p)$ ，经过针孔，投影到 $O'_{x'y'}$ 平面，成像为点 $P'(x'_p, y'_p, z'_p)$，根据相似三角形，有

$$ -\frac{z_p}{z'_p} = \frac{z_p}{f} = -\frac{x_p}{x'_p} = -\frac{y_p}{y'_p} \tag{1} $$

可以看出，此时，成像与为上下颠倒、左右镜像。实际相机得到的图像并不是倒相，为此，为了让模型更符合实际，可以等价地把成像平面对称的放到相机前方，即 $O_{xyz}$ 下 $z = f$ 所在的平面，这样可以把公式中的负号去掉，即

$$ \frac{z_p}{z'_p} = \frac{z_p}{f} = \frac{x_p}{x'_p} = \frac{y_p}{y'_p} \tag{2} $$

整理得

$$ \begin{align} x'_p = f \frac{x_p}{z_p} \\ y'_p = f \frac{y_p}{z_p} \end{align} \tag{3} $$

式 $(1) - (3)$ 中点坐标的单位为米，在相机中，最后得到一个一个像素，因此，还需要在成像平面上对所成像进行采样和量化。物理成像平面上的像素坐标定义为 $O'_{uv}$，在像素平面上 $P'$ 的坐标为 $(u_p, v_p)$ 。

设像素坐标在 $u$ 轴上缩放 $\alpha$ 倍，平移 $c_x$；在 $v$ 坐标上缩放 $\beta$ 倍，平移 $c_y$， $\alpha$、$\beta$ 的单位为 像素/米。则

$$ \begin{align} u_p = \alpha x'_p + c_x \\ v_p = \beta y'_p + c_y \end{align} \tag{4} $$

联立 $(3) - (4)$ 得

$$ \begin{align} u_p = \alpha f \frac{x_p}{z_p} + c_x \\ v_p = \beta f \frac{y_p}{z_p} + c_y \end{align} \tag{5} $$

令 $f_x = \alpha f$，$f_y = \beta f$，上式可简化为

$$ \begin{align} u_p = f_x \frac{x_p}{z_p} + c_x \\ v_p = f_y \frac{y_p}{z_p} + c_y \end{align} \tag{6} $$

将式 $(6)$ 改为矩阵形式，

$$ \begin{bmatrix} u_p \\ v_p \\ 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{z_p} \begin{bmatrix} f_x & 0 & c_x \\0 & f_y & c_y \\0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_p \\ y_p \\ z_p \end{bmatrix} \tag{7} $$

中间的量组成的矩阵称为相机内参矩阵。

参考

[1]高翔等. 视觉SLAM十四讲:从理论到实践. 电子工业出版社, 2019.